La vid@ secreta de las ecuaciones

Ecuaciones 😟

Cómo resolver una incógnita? Despejar la X en una ecuación es mucho más que un ejercicio matemático; es dar la solución a un problema. Se trata por otra parte de operaciones que hacemos muy a menudo casi sin darnos cuenta, aunque cuando son operaciones sencillas podemos hacerlas fácilmente de cabeza y sin tener que realizar cuentas en una hoja de papel.

 Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor que debe tomar la incógnita X para que se cumpla la igualdad. Podemos comprobar si la solución encontrada es correcta sustituyendo la incógnita x por la solución. Como regla general, una ecuación de primer grado tiene una única solución. No obstante, puede darse el caso de que no exista ninguna o que existan infinitas.

GRADO DE UNA ECUACIÓN

Ya hemos visto que es una ecuación, pero ¿Cómo sabemos si es una ecuación de primer grado?

¿Qué es el grado de una ecuación?

El grado de una ecuación coincide con el mayor exponente al que están elevadas las incógnitas.

Por ejemplo: ¿CUÁL ES EL GRADO EN LA SIGUIENTE ECUACIÓN?

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Las ecuaciones de primer grado son aquellas ecuaciones donde la x sólo aparece elevada a 1, o aparece simplemente la x.

Al ser de grado uno, tiene una solución.

Procedimiento para encontrar la solución

Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos miembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y las propiedades de las operaciones inversas.

• Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un número, se multiplican por un número, se dividen entre un número, se elevan a la misma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene.

• Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se multiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n y se obtiene su raiz enésima al mismo tiempo ese miembro permanece inalterado y la igualdad se mantiene.

• Se busca que los términos que contienen a la variable pasen al primer miembro y que los términos que no contienen a la variable se pasen al segundo miembro.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2x + 3 = 21 - x.

        😸   El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del = ) porque contiene a la variable.

 😸 El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la variable. Esto se hace restando3 a los dos miembros

   🙀  El término 21 se mantiene en el segundo miembro (a la derecha del = ) porque no contiene a la variable.

     🙀 El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable. Esto se hace sumando x a los dos miembros

       😻  Se reducen términos semejantes

2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x
3x = 18

    😱  El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la variable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.

(3x)/3 = (18)/3
x = 6

Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para comprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa numéricamente cada miembro y se verifica la igualdad.

2(6) + 3 = 21 - (6)
12 + 3 = 15
15 = 15

Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada correctamente.

Un poco más sobre el procedimiento

En la resolución de ecuaciones es común escuchar comentarios como "lo que está restando pasa sumando" o "lo que está multiplicando pasa dividiendo". Es válido considerar que se puede despejar algún elemento de un miembro y pasarlo al otro miembro con la operación inversa, pero es necesario comprender por qué se hace, para evitar errores.

En el siguiente ejemplo se illustra lo comentado aquí.

Ejemplo. Resolver la ecuación 3x - 4 = x + 2.

1.       El término 3x contiene a la variable y debe quedarse en el primer miembro. El término - 4 no contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del primer miembro, esto se hace sumando 4 a ambos miembros.

3x - 4 + 4 = x + 2 + 4

2.       Los términos - 4 y + 4 se eliminan porque - 4 + 4 = 0. La ecuación queda:

3x = x + 2 + 4

3.       Si comparamos esta ecuación con la original, observaremos que el término - 4 del primer miembro se ha convertido en el término + 4 del segundo miembro. En ese caso podemos decir que "el término que estaba restando ha pasado sumando al otro miembro". Después de reducir términos semejantes la ecuación queda:

3x = x + 6

4.       El término x contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del segundo miembro. Esto se hace restando x a los dos miembros.

3x - x = x + 6 – x

5.       Los términos x y - x se eliminan porque x - x = 0. La ecuación queda:

3x - x = 6

6.       Al comparar esta ecuación con la original, observamos que el término x del segundo miembro se ha convertido en el término - x del primer miembro. En ese caso podemos decir que "el término que estaba sumando ha pasado restando al otro miembro". Después de reducir términos semejantes la ecuación queda:

2x = 6

7.   Para despejar la x del término 2x se debe quitar el 2 de ese término. Esto se hace dividiendo entre 2 a los dos miembros.

(2x)/2 = (6)/2

8.       En el primer miembro, el 2 que multiplica a x y el 2 que divide se eliminan porque 2 / 2 = 0. La ecuación queda:

x = 6/2

9.       Al comparar esta ecuación con la anterior, observamos que el 2 de 2x ahora está dividiendo a 6. En ese caso podemos decir que "el término que estaba multiplicando ha pasado dividiendo al otro miembro". Después de realizar la división, la ecuación ha sido solucionada:

x = 3