M A T E    N O T I C I A S 

¿Es 3,14 una buena aproximación de Pi?

Dos matemáticos han demostrado recientemente la llamada conjetura de Duffin-Schaefer, que plantea cómo aproximar como fracciones números irracionales, como Pi

Si preguntas el valor del número Pi a cualquier persona, habrá algunas que responderán que es 3,14. Sin embargo, como también muchas otras saben, no es cierto. Pi tiene infinitas cifras decimales no periódicas, no solo dos, es decir, es un número irracional. Pese a ello, para algunas cosas es muy útil poder aproximar irracionales, como Pi, mediante números racionales, con los cuales es más fácil trabajar. Un número racional es aquel que se puede expresar como fracción, es decir, un cociente de dos números enteros, llamados numerador (la parte arriba) y denominador (la parte abajo). Para aproximar Pi se suele emplear el número racional 3,14, es decir 157/50, pero, ¿es este un buen redondeo? ¿Cómo podemos afirmar, en general, que una aproximación racional lo es?

Un primer criterio es que sea cercana al valor del número irracional. Sin otro dato, podríamos decir que 3,1416 es una aproximación mejor que 3,14. Otro criterio, muchas veces contradictorio con lo anterior, es que sea una expresión sencilla. En ocasiones se dan ambas propiedades: por ejemplo, aunque las fracciones 157/50 y 22/7 son ambas aproximaciones de Pi, la segunda es más simple y además está más cerca del valor real de Pi: no hay duda de cuál escoger.

De forma general, al aproximar un número irracional mediante una fracción el “precio a pagar” es el tamaño del denominador y la “ganancia” es la “bondad” de la aproximación, es decir, el tamaño del error. El objetivo es optimizar las elecciones del denominador y el error. Podemos también establecer que estos dos valores estén relacionados entre ellos (por ejemplo el error puede ser inversamente proporcional al cuadrado del denominador escogido). Esto permite tener, al mismo tiempo, alta precisión y simplicidad en la representación. En 1837 el matemático Gustav Lejeune Dirichlet demostró que existen infinitas maneras distintas de aproximar los números irracionales con fracciones, admitiendo precisamente un término de error inversamente proporcional al cuadrado del denominador.

Pero el problema no quedó resuelto aquí, sino todo lo contrario, aparecieron nuevas preguntas: ¿es posible buscar expresiones que introduzcan un término de error más pequeño? ¿Hay números que se pueden representar con restricciones (de error y denominador) más fuertes que otros? ¿Cuáles? Richard Duffin y Albert Schaeffer estudiaron este problema en el año 1941. Ellos observaron que existe una dicotomía generada por la elección del término de error: si su tamaño es suficientemente grande, se pueden representar todos los números, pero si es demasiado pequeño no se puede representar ninguno. Formularon de forma técnica esta idea pero no fueron capaces de demostrarla, con lo que el problema quedó abierto durante décadas. Como sucede muchas veces en matemáticas, y en particular en teoría de números, una cuestión sencilla de explicar resulta muy difícil de solucionar.

Este verano, Dimitri Koukoulopoulos, de la Universidad de Montreal, y James Maynard, de la Universidad de Oxford, dieron con la respuesta. Ambos son investigadores muy reputados en la llamada teoría analítica de números, que utiliza técnicas de análisis para obtener resultados aritméticos, pero no son expertos en el área particular de la aproximación diofántica, en la que se engloba el problema, lo que hizo especialmente sorprendente su anuncio. Fue en un congreso de teoría de números que tuvo lugar en julio de este año en Cetaro, Italia, ante un centenar de expertos del campo. El artículo, On the Duffin-Schaefer conjecture es un trabajo extenso que introduce numerosas herramientas matemáticas novedosas, y está aún en proceso de revisión por las revistas científicas. Aunque la comunidad matemática solo aceptará completamente la demostración del resultado después de un análisis muy detallado por parte de expertos, numerosos investigadores ya se han hecho eco de lo que parece ser un nuevo hito.

Existen infinitas maneras distintas de aproximar los números irracionales con fracciones, admitiendo precisamente un término de error inversamente proporcional al cuadrado del denominador

Pero, ¿qué diría la conjetura en el caso de Pi? ¿Cuál sería una buena aproximación del irracional más famoso de todos los tiempos? Aplicando el criterio de Dirichlet es fácil comprobar que 3,14 = 157/50 no es muy buen redondeo, por ejemplo, 22/7 es una aproximación mucho mejor. El resultado de Duffin y Schaeffer sugiere aproximaciones más eficientes que sirven para casi todos los números irracionales, salvo algunos conjuntos de medida (probabilidad) nula, y tendrá consecuencias muy interesantes en la teoría de números, por ejemplo en la caracterización de los números trascendentes.

Cuando el primer ministro de Italia era un matemático

Luigi Menabrea enunció el “principio de elasticidad” y fue un precursor de la informática moderna

Es común asociar la práctica de la investigación en matemáticas, al igual que la de muchas formas de arte, a una vida consagrada al estudio y a la meditación más que a una actitud pragmática y capaz de transformar la realidad que nos rodea. Sin embargo, esta visión estereotipada ha sido desmentida en muchas ocasiones a lo largo de la historia. Ya Platón, en su dialogo sobre la república (380 a.C.) propuso encomendar a los filósofos, formados en el estudio de matemática, música y astronomía, la responsabilidad del Gobierno de su ciudad ideal. En la época moderna cabe destacar el ejemplo de dos matemáticos de gran relevancia científica que llegaron a gobernar sus respectivos países: Paul Painlevé, primer ministro de Francia en 1917 y 1925, célebre por sus estudios sobre las singularidades de las ecuaciones diferenciales ordinarias, y el italiano Luigi Menabrea, quien hizo importantes contribuciones a la computación y a la mecánica teórica.

Nacido en Chambéry (Saboya italiana) en 1809, Luigi Federico Menabrea, matemático, ingeniero, general y hombre político piamontés, tuvo una vida sorprendentemente exitosa tanto en el ámbito científico como en el entorno social. Graduado en ingeniería hidráulica y en arquitectura civil, fue profesor de Mecánica Aplicada en la Universidad de Turín. Una de sus primeras contribuciones científicas fue en el incipiente campo de la informática. En 1840 Charles Babbage, pionero de la computación moderna, fue invitado por la Academia de Ciencias de Turín a presentar su proyecto de una revolucionaria máquina calculadora, la Analytical Engine, que no sólo podía efectuar cálculos complejos, sino que podía ser programada. Menabrea, tras conversar ampliamente con el inventor inglés, publicó su famoso ensayo, “Notions sur la machine analytique de M. Charles Babbage” (Ginebra, 1842), en el que se describen las bases de una disciplina informática llamada arquitectura de datos.

Este ensayo tuvo un gran éxito también en Inglaterra gracias a Augusta Ada Lovelace, hija del poeta romántico Lord Byron, matemática y escritora, quien tradujo la obra y la complementó con una colección de notas personales. En la versión inglesa figura un algoritmo expresamente concebido por Lovelace para la máquina de Babbage: podríamos decir el primer programa informático de la historia.

Ada Lovelace.

Una de las aportaciones científicas más significativas de Menabrea es la elaboración de métodos variacionales en análisis estructural, que permiten hacer un estudio matemático de los esfuerzos internos que actúan sobre estructuras resistentes. Además, su resultado más destacado es el “principio de elasticidad”, que en su formulación moderna se conoce como Teorema del mínimo de la energía complementaria. Esencialmente, este principio establece que si un sistema elástico lineal está en equilibrio bajo fuerzas externas, las tensiones internas de deformación son tales que la energía elástica del sistema se minimiza.

Sorprende saber que Menabrea realizó gran parte de estas contribuciones a la vez que emprendía una brillante carrera militar y política. Alcanzó el grado de teniente general de ingeniería militar y participó en varias contiendas de las denominadas Guerras de la Independencia italianas, entre ellas la terrible batalla de Solferino (cuyas atrocidades inspiraron al ginebrino Henry Dunant, testigo de los combates, la fundación de la Cruz Roja internacional).

Como político, a partir de 1848 fue diputado en el parlamento piamontés, y en 1860 fue nombrado senador vitalicio del Reino de Italia, ministro de la Marina y de Fomento. Su trayectoria alcanzó su cumbre al desempeñar el cargo de primer ministro en tres gabinetes seguidos, de 1867 a 1869. Por razones de oportunidad política, como jefe del Gobierno tuvo que oponerse oficialmente a la acción de Garibaldi, que intentaba sustraer Roma al poder temporal de los papas y agregarla a Italia. También, siguiendo las huellas del anterior ministro de economía Quintino Sella, mineralogista y también matemático, persiguió una política presupuestaria de déficit cero (caso prácticamente único en la historia italiana) a costa de una subida de impuestos muy impopular: la tristemente célebre “tasa sobre los molidos”, promulgada en 1868, que provocó una ola de rebeliones entre los más pobres y represiones cruentas.

En 1876 Menabrea fue nombrado embajador en Londres, y posteriormente en París; en 1892 se retiró de la vida pública cerca de Chambéry, donde falleció en 1896. Sin olvidar las facetas más controvertidas de su personalidad política, Menabrea representa el paradigma de un matemático entregado a sus estudios pero no aislado en una torre de marfil. El ideal del científico dispuesto a comprometerse para mejorar la sociedad de su tiempo sigue resultando inspirador, sobre todo en la época en que vivimos.